我对普通交通事故的全部责任都报了保险公司。

应给或不给需视情况。若仅车损已赔，对方要求额外赔偿需有法律依据，如《道路交通安全法》规定的误工费等。否则，无理由拒付可能导致法律纠纷。
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视情况而定。若对方要求合理：协商赔偿；若不合理：1.收集证据，如事故认定书、修车发票等；2.尝试再次协商，说明赔偿依据；3.协商不成，报警或咨询律师，准备民事诉讼材料，通过法律途径解决。
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常见处理方式为协商、报警或诉讼。先尝试与对方协商，无法达成一致时可选择报警，由交警调解；仍无法解决，则考虑通过民事诉讼来维护权益。